1. Équations

Une équation est une égalité mathématique contenant une ou plusieurs inconnues, dont on cherche les valeurs qui la rendent vraie.

Types d’équations :

• Équations du premier degré : de la forme $ax+b=0$, avec a≠0a=0.
  • Solution : x=−bax=−ab​.
• Équations du second degré : de la forme ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0.
  • Solutions données par la formule du discriminant Δ=b2−4acΔ=b2−4ac :
    • Si $\Delta >0$ : deux solutions réelles.
    • Si $\Delta =0$ : une solution réelle unique.
    • Si $\Delta <0$ : pas de solution réelle.
• Équations polynomiales : de degré supérieur à 2, nécessitant des méthodes spécifiques (factorisation, division euclidienne, théorème de d’Alembert, etc.).
• Équations exponentielles : impliquent des puissances avec une base variable (ax=bax=b).
• Équations logarithmiques : contiennent des logarithmes (log⁡ax=bloga​x=b).
• Équations trigonométriques : font intervenir des fonctions trigonométriques comme $\sin x=a$.

2. Inéquations

Une inéquation est une expression mathématique où deux expressions sont reliées par un des signes $<,\le ,>,\ge$. La résolution consiste à trouver les valeurs qui satisfont cette relation.

Types d’inéquations :

• Inéquations du premier degré : $ax+b<0$ ou $ax+b>0$.
  • Résolution similaire à une équation du premier degré.
• Inéquations du second degré : ax2+bx+c≥0ax2+bx+c≥0.
  • Résolues en étudiant le signe du trinôme à l’aide du discriminant et d’un tableau de signes.
• Inéquations produit et quotient :
  • Se résolvent par factorisation et étude du signe des facteurs.

Méthodes de résolution :

• Utilisation du tableau de signes : permet de visualiser les variations d’un polynôme ou d’un produit de facteurs.
• Étude des variations d’une fonction : utile pour les inéquations complexes.

3. Applications

Les équations et inéquations sont utilisées pour :

• Résoudre des problèmes concrets en physique, économie et ingénierie.
• Modéliser des phénomènes naturels et techniques.
• Déterminer les plages de valeurs admissibles pour certaines conditions (ex : seuils de température, budgets financiers, etc.).